TEORÍA DE COLAS
Las "colas" son un aspecto de la vida
moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En
la caja de un supermercado, accediendo al bus, en los Bancos, etc., el
fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan
ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos
o clientes.
El estudio de las colas es importante porque
proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de
un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser
diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.
Quien desarrollo inicialmente
esta teoría fue El matemático danés Agner Krarup
Erlang, trabajador de la Copenhagen Telephone Exchange, publicó el primer
artículo sobre la teoría de colas en 1909. Específicamente se
preocupó del estudio del problema de dimensionamiento de líneas y centrales de
conmutación telefónica para el servicio de llamadas.
Objetivos
- Identificar
el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo.
- Evaluar
el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del
sistema tendrían en el coste total del mismo
- Establecer
un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de
costes y las cualitativas de servicio.
- Prestar
atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.
Características de un sistema de colas
Seis
son las características básicas que se deben utilizar para describir
adecuadamente un sistema de colas:
a) Patrón de llegada de
los clientes
b) Patrón de servicio de
los servidores
c) Disciplina de cola
d) Capacidad del sistema
e) Número de canales de
servicio
f) Número de etapas de
servicio
Patrón de llegada de los clientes: En
situaciones de cola habituales, la llegada es estocástica, es decir la llegada
depende de una cierta variable aleatoria, en este caso es necesario conocer la
distribución probabilística entre dos llegadas de cliente sucesivas. Además
habría que tener en cuenta si los clientes llegan independiente o simultáneamente. En este
segundo caso (es decir, si llegan lotes) habría que definir la distribución probabilística
de éstos.
También
es posible que los clientes sean “impacientes”. Es decir, que lleguen a la cola
y si es demasiado larga se vayan, o que tras esperar mucho rato en la cola
decidan abandonar. Por último es posible que el patrón de llegada varíe con el
tiempo. Si se mantiene constante le llamamos estacionario, si por ejemplo varía
con las horas del día es no-estacionario.
Patrones de servicio de los servidores: Los
servidores pueden tener un tiempo de servicio variable, en cuyo caso hay que
asociarle, para definirlo, una función de probabilidad. También pueden atender
en lotes o de modo individual. El tiempo de servicio también puede variar con
el número de clientes en la cola, trabajando más rápido o más lento, y en este
caso se llama patrones de servicio dependientes. Al igual que el patrón de
llegadas el patrón de servicio puede ser no-estacionario, variando con el tiempo
transcurrido.
Disciplina de cola: La
disciplina de cola es la manera en que los clientes se ordenan en el momento de
ser servidos de entre los de la cola. Cuando se piensa en colas se admite que
la disciplina de cola normal es FIFO (atender primero a quien llegó primero)
Sin embargo en muchas colas es habitual
el uso de la disciplina LIFO (atender primero al último). También es
posible encontrar reglas de secuencia con prioridades, como por ejemplo
secuenciar primero las tareas con menor duración o según tipos de clientes.
En
cualquier caso dos son las situaciones generales en las que trabajar. En la
primera, llamada en inglés “preemptive”, si un cliente llega a la cola con una
orden de prioridad superior al cliente que está siendo atendido, este se retira
dando paso al más importante. Dos nuevos subcasos aparecen: el cliente retirado
ha de volver a empezar, o el cliente retorna donde se había quedado. La segunda
situación es la denominada “no-preemptive” donde el cliente con mayor prioridad
espera a que acabe el que está siendo atendido.
Capacidad del sistema: En algunos sistemas existe una limitación respecto
al número de clientes que pueden esperar en la cola. A estos casos se les
denomina situaciones de cola finitas. Esta limitación puede ser considerada
como una simplificación en la modelización de la impaciencia de los clientes.
Número de canales del servicio: Es evidente que es
preferible utilizar sistemas multiservidos con una única línea de espera para todos
que con una cola por servidor. Por tanto, cuando se habla de canales de
servicio paralelos, se habla generalmente de una cola que alimenta a varios
servidores mientras que el caso de colas independientes se asemeja a múltiples
sistemas con sólo un servidor.
Etapas de servicio: Un sistema
de colas puede ser unietapa o multietapa. En los sistemas multietapa el cliente
puede pasar por un número de etapas mayor que uno. Una peluquería es un sistema
unietapa, salvo que haya diferentes servicios (manicura, maquillaje) y cada uno
de estos servicios sea desarrollado por un servidor diferente. En algunos
sistemas multietapa se puede admitir la vuelta atrás o “reciclado”, esto es
habitual en sistemas productivos como
controles de calidad y reprocesos.
El problema de las colas
Vivimos
en un mundo en el que una porción más o menos importante del tiempo transcurre
en tiempo de espera. Es prácticamente imposible encontrar a alguien, tanto en
las sociedades del bienestar, como en países subdesarrollados, que no haya
tenido que hacer en algún momento alguna cola. Un estudio realizado en EE.UU.
mostró que el ciudadano medio pasa cinco años de su vida esperando en alguna
que otra cola, seis meses de los cuales está esperando delante de un semáforo
en rojo. A nadie le complace esperar en una cola, especialmente cuando
desconoce el tiempo de espera, un intervalo de tiempo que todo el mundo tiene
en muy mal concepto, ya que se considera que esperar haciendo una cola es
inevitablemente una manera de perder el tiempo. Se trata de un factor
psicológico que muchas empresas deben tener en cuenta para su buen
funcionamiento. Largas colas frente a los cajeros de un establecimiento pueden
ser un elemento disuasorio a la hora de decidirse a hacer una compra. Pero no
sólo es el factor psicológico lo que determina la necesidad de resolver el
problema planteado por las colas, puesto que hay colas que no están formadas
por personas, sino por objetos, como las colas y los posibles atascos que se
pueden formar en una cadena de fabricación.
Modelos de colas
Algunos modelos de colas son muy sencillos y otros requieren la
aplicación de teorías matemáticas sumamente complejas. Existen muchos modelos
de colas, pero se puede hacer una primera clasificación en dos grandes grupos:
- Cola determinista: aquella de la que se puede dar, a priori, una
descripción detallada. Es el modelo más simple y presupone conocidos factores
como los intervalos de tiempo de llegada y de espera. Es lo que podríamos
llamar una cola sin sorpresas.
- Cola estocástica: una cola que no puede ser descrita sin hacer intervenir
las probabilidades. Es un modelo más realista que el anterior. En un día
lluvioso, por ejemplo, es más probable que aumenten las colas de gente en las
paradas de taxis y que disminuyan en la entrada al zoo.
En la práctica, los modelos se mueven en un amplio abanico entre los
extremos descritos por los dos anteriores. En la mayoría de las colas
estocásticas se hace necesaria la ayuda de un simulador, es decir de un
programa informático capaz de recrear el modelo real, con todas sus componentes
probabilísticas, que permita el establecimiento de un modelo comparativo.
Una cola determinista
Veamos como son los parámetros que se ponen en juego para el análisis
matemático de una cola. En este caso el de una cola determinista de la que
vamos a establecer unos supuestos básicos para establecer el esquema de la
cola. Tenemos un primer módulo que es el formado por los clientes que llegan.
Admitiremos que lo hacen a intervalos de tiempo regulares, lo que
simbolizaremos con la letra x. Según esto, los clientes que llegan están
separados por intervalos de amplitud x (generalmente x será una medida de
tiempo). Tendremos luego un punto de atención al cliente en el que, en este
caso, supondremos que se atiende a un solo cliente cada vez, tras el cual habrá
una fila de clientes en posición de espera. Entenderemos por cola la fila de
espera incluyendo al cliente que en ese momento está siendo atendido. Por
último tendremos un módulo que será el formado por los clientes que se marchan
y que supondremos separados entre sí por un intervalo de amplitud al que
llamaremos y. Estos dos parámetros, x e y, establecen por sí mismos lo que
podemos llamar un ritmo de llegada y un ritmo de servicio, que se definen
respectivamente como 1/x y 1/y.
El análisis del modelo
En un modelo como el que hemos descrito en el
párrafo anterior se pueden dar tres situaciones diferentes:
1) x < y
Es una situación en la que el ritmo de llegada es
superior al ritmo de servicio, es decir que la frecuencia de clientes que salen
es menor que la de los que entran. La formación de la cola es inevitable y,
teóricamente, es una cola cuya longitud se alarga indefinidamente.
2) x = y
Esto significa que el servicio termina justo cuando
llega el siguiente cliente. Si en el momento inicial no hay cola, cada cliente
es atendido en el momento de llegar y si inicialmente había una cola (que se
podría haber formado momentos antes de abrir el establecimiento) la longitud de
la cola se mantendrá constante.
3) x > y
En este caso como la frecuencia del servicio es mayor que la de llegada
de clientes la tendencia es a la eliminación de la cola, sea cual sea la
situación inicial.
Colas de tráfico
A las teorías matemáticas que tratan el problema general de las colas se
les han resistido durante años las colas formadas por el tráfico de
vehículos[1]. Su especial, y aparentemente aleatoria, dinámica de retenciones y
aceleraciones no ha acabado por ajustarse a ningún modelo conocido, por lo que
se han requerido de nuevas modelizaciones, con sus correspondientes técnicas
matemáticas. La mayoría de ellas aparecieron en los años 90 y se podrían
resumir en tres: un modelo hidrodinámico, otro basado en la Dinámica de Sistemas y un
tercero que utiliza simulaciones por ordenador mediante la técnica de Autómatas
Celulares. En el primero de estos modelos se aborda la dinámica de un torrente
de tráfico con técnicas matemáticas similares a las utilizadas en el estudio de
la mecánica de fluidos, basadas fundamentalmente en unas complicadas y
difíciles ecuaciones, llamadas de Navier-Stokes. Aunque el fluir de una
corriente de agua es continuo, a escalas microscópicas se sabe que está formada
por moléculas individuales, lo que permite establecer ciertas semejanzas con el
fluir del tráfico y deducir, en determinadas condiciones, algunas pautas de comportamiento
que sean válidas para este último. Otra alternativa es el modelo en el que se
definen, para cada coche, un par de variables que son su velocidad y la
distancia que le separa del vehículo más próximo. Mediante ellas se puede
construir lo que se llama un sistema dinámico que permite analizar diferentes
estados que se pueden dar, como el de flujo constante, ideal para la
conducción; un estado periódico, como sería el de estados alternativos de
arranque y parada; o incluso el de estados caóticos, típicos en este tipo de
sistemas. La Teoría
de los Autómatas Celulares fue concebida originalmente por Ulam y Von Neumann
en los años 40 para proporcionar un marco formal a la investigación del
comportamiento de sistemas complejos. Se basa en programas informáticos muy
sencillos en los que planteado en términos muy simples se introducen un número
indeterminados de bichos virtuales en la pantalla del ordenador capacitados
para ciertas acciones simples, como ir a la derecha o hacia delante, pararse,
interactuar con el vecino, etc., y se estudia posteriormente el comportamiento
de la colonia. Este planteamiento ha proporcionado resultados interesantes en
el estudio del tráfico, ya que los vehículos son bichos que, entre otras cosas
nocivas, se dedican a formar colas.
Colapso de
un sistema de cola
Las “colas” son un aspecto de la
vida moderna que nos encontramos en nuestras actividades diarias cuando
formamos colas o líneas de espera atentos a un servicio. Esto suele ocurrir
cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe
para dar dicho servicio.
Si bien una cola la cual sigue un
orden especifico no debe colapsar, las teorías de cola nos dan variantes
al momento de saber el tiempo específico en el cual serán atendidos o cual
rápido es el movimiento de la cola, estas pueden colapsar de igual manera ya
que en ocasiones, la capacidad instalada para proporcionar el servicio es
insuficiente. Si nos ponemos a revisar un ejemplo que vivimos son las colas en
el banco el cual colapsa porque las cajas se encuentran vacía o solo están
trabajando dos o un cajero donde hay hasta 5 cajas, lo cual trae a consecuencia
el colapso. Al momento de buscar solución a este problema es recomendable
primero saber el lugar en el cual se va a realizar las colas si se puede
soportar la cantidad de clientes que estarán en la cola, el lugar tiene que
ser cómodo y saber de ante mano el estimado de clientes en el lugar
para realizar la cola; Luego buscar por medio del modelo de cola la solución
más cómoda posible tomando en cuanta (cantidad de clientes, clientes en el
sistema, tiempo de atención, clientes en la cola, tiempos en la cola y
Probabilidad de que hayan “n” clientes en el sistema en un instante
determinado).
Elys Martinez
C.I: 20.645.406
Ingeniería de Sistemas
