Teoría de colas: Elys Martinez

Universidad Bicentenaria de Aragua

Cátedra: Investigación de Operaciones II

Escuela de Ingeniería en Sistemas

 TEORÍA DE COLAS

Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En la caja de un supermercado, accediendo al bus, en los Bancos, etc., el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes.

 El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.

Quien desarrollo inicialmente esta teoría fue El matemático danés Agner Krarup Erlang, trabajador de la Copenhagen Telephone Exchange, publicó el primer artículo sobre la teoría de colas en 1909. Específicamente se preocupó del estudio del problema de dimensionamiento de líneas y centrales de conmutación telefónica para el servicio de llamadas.

Objetivos

•             Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo.
•      Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo
•    Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.
•          Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.

Características de un sistema de colas

Seis son las características básicas que se deben utilizar para describir adecuadamente un sistema de colas:

a) Patrón de llegada de los clientes

b) Patrón de servicio de los servidores

c) Disciplina de cola

d) Capacidad del sistema

e) Número de canales de servicio

f) Número de etapas de servicio

Patrón de llegada de los clientes: En situaciones de cola habituales, la llegada es estocástica, es decir la llegada depende de una cierta variable aleatoria, en este caso es necesario conocer la distribución probabilística entre dos llegadas de cliente sucesivas. Además habría que tener en cuenta si los clientes llegan  independiente o simultáneamente. En este segundo caso (es decir, si llegan lotes) habría que definir la distribución probabilística de éstos.

También es posible que los clientes sean “impacientes”. Es decir, que lleguen a la cola y si es demasiado larga se vayan, o que tras esperar mucho rato en la cola decidan abandonar. Por último es posible que el patrón de llegada varíe con el tiempo. Si se mantiene constante le llamamos estacionario, si por ejemplo varía con las horas del día es no-estacionario.

Patrones de servicio de los servidores: Los servidores pueden tener un tiempo de servicio variable, en cuyo caso hay que asociarle, para definirlo, una función de probabilidad. También pueden atender en lotes o de modo individual. El tiempo de servicio también puede variar con el número de clientes en la cola, trabajando más rápido o más lento, y en este caso se llama patrones de servicio dependientes. Al igual que el patrón de llegadas el patrón de servicio puede ser no-estacionario, variando con el tiempo transcurrido.

 Disciplina de cola: La disciplina de cola es la manera en que los clientes se ordenan en el momento de ser servidos de entre los de la cola. Cuando se piensa en colas se admite que la disciplina de cola normal es FIFO (atender primero a quien llegó primero) Sin embargo en muchas colas es habitual  el uso de la disciplina LIFO (atender primero al último). También es posible encontrar reglas de secuencia con prioridades, como por ejemplo secuenciar primero las tareas con menor duración o según tipos de clientes.

En cualquier caso dos son las situaciones generales en las que trabajar. En la primera, llamada en inglés “preemptive”, si un cliente llega a la cola con una orden de prioridad superior al cliente que está siendo atendido, este se retira dando paso al más importante. Dos nuevos subcasos aparecen: el cliente retirado ha de volver a empezar, o el cliente retorna donde se había quedado. La segunda situación es la denominada “no-preemptive” donde el cliente con mayor prioridad espera a que acabe el que está siendo atendido.

Capacidad del sistema: En algunos sistemas existe una limitación respecto al número de clientes que pueden esperar en la cola. A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas. Esta limitación puede ser considerada como una simplificación en la modelización de la impaciencia de los clientes.

Número de canales del servicio: Es evidente que es preferible utilizar sistemas multiservidos con una única línea de espera para todos que con una cola por servidor. Por tanto, cuando se habla de canales de servicio paralelos, se habla generalmente de una cola que alimenta a varios servidores mientras que el caso de colas independientes se asemeja a múltiples sistemas con sólo un servidor.

Etapas de servicio:  Un sistema de colas puede ser unietapa o multietapa. En los sistemas multietapa el cliente puede pasar por un número de etapas mayor que uno. Una peluquería es un sistema unietapa, salvo que haya diferentes servicios (manicura, maquillaje) y cada uno de estos servicios sea desarrollado por un servidor diferente. En algunos sistemas multietapa se puede admitir la vuelta atrás o “reciclado”, esto es habitual  en sistemas productivos como controles de calidad y reprocesos.

El problema de las colas

Vivimos en un mundo en el que una porción más o menos importante del tiempo transcurre en tiempo de espera. Es prácticamente imposible encontrar a alguien, tanto en las sociedades del bienestar, como en países subdesarrollados, que no haya tenido que hacer en algún momento alguna cola. Un estudio realizado en EE.UU. mostró que el ciudadano medio pasa cinco años de su vida esperando en alguna que otra cola, seis meses de los cuales está esperando delante de un semáforo en rojo. A nadie le complace esperar en una cola, especialmente cuando desconoce el tiempo de espera, un intervalo de tiempo que todo el mundo tiene en muy mal concepto, ya que se considera que esperar haciendo una cola es inevitablemente una manera de perder el tiempo. Se trata de un factor psicológico que muchas empresas deben tener en cuenta para su buen funcionamiento. Largas colas frente a los cajeros de un establecimiento pueden ser un elemento disuasorio a la hora de decidirse a hacer una compra. Pero no sólo es el factor psicológico lo que determina la necesidad de resolver el problema planteado por las colas, puesto que hay colas que no están formadas por personas, sino por objetos, como las colas y los posibles atascos que se pueden formar en una cadena de fabricación.

Modelos de colas

Algunos modelos de colas son muy sencillos y otros requieren la aplicación de teorías matemáticas sumamente complejas. Existen muchos modelos de colas, pero se puede hacer una primera clasificación en dos grandes grupos:

- Cola determinista: aquella de la que se puede dar, a priori, una descripción detallada. Es el modelo más simple y presupone conocidos factores como los intervalos de tiempo de llegada y de espera. Es lo que podríamos llamar una cola sin sorpresas.

- Cola estocástica: una cola que no puede ser descrita sin hacer intervenir las probabilidades. Es un modelo más realista que el anterior. En un día lluvioso, por ejemplo, es más probable que aumenten las colas de gente en las paradas de taxis y que disminuyan en la entrada al zoo.

En la práctica, los modelos se mueven en un amplio abanico entre los extremos descritos por los dos anteriores. En la mayoría de las colas estocásticas se hace necesaria la ayuda de un simulador, es decir de un programa informático capaz de recrear el modelo real, con todas sus componentes probabilísticas, que permita el establecimiento de un modelo comparativo.

Una cola determinista

Veamos como son los parámetros que se ponen en juego para el análisis matemático de una cola. En este caso el de una cola determinista de la que vamos a establecer unos supuestos básicos para establecer el esquema de la cola. Tenemos un primer módulo que es el formado por los clientes que llegan. Admitiremos que lo hacen a intervalos de tiempo regulares, lo que simbolizaremos con la letra x. Según esto, los clientes que llegan están separados por intervalos de amplitud x (generalmente x será una medida de tiempo). Tendremos luego un punto de atención al cliente en el que, en este caso, supondremos que se atiende a un solo cliente cada vez, tras el cual habrá una fila de clientes en posición de espera. Entenderemos por cola la fila de espera incluyendo al cliente que en ese momento está siendo atendido. Por último tendremos un módulo que será el formado por los clientes que se marchan y que supondremos separados entre sí por un intervalo de amplitud al que llamaremos y. Estos dos parámetros, x e y, establecen por sí mismos lo que podemos llamar un ritmo de llegada y un ritmo de servicio, que se definen respectivamente como 1/x y 1/y.

El análisis del modelo

En un modelo como el que hemos descrito en el párrafo anterior se pueden dar tres situaciones diferentes:
1) x < y

Es una situación en la que el ritmo de llegada es superior al ritmo de servicio, es decir que la frecuencia de clientes que salen es menor que la de los que entran. La formación de la cola es inevitable y, teóricamente, es una cola cuya longitud se alarga indefinidamente.
2) x = y

Esto significa que el servicio termina justo cuando llega el siguiente cliente. Si en el momento inicial no hay cola, cada cliente es atendido en el momento de llegar y si inicialmente había una cola (que se podría haber formado momentos antes de abrir el establecimiento) la longitud de la cola se mantendrá constante.
3) x > y

En este caso como la frecuencia del servicio es mayor que la de llegada de clientes la tendencia es a la eliminación de la cola, sea cual sea la situación inicial.

Colas de tráfico

A las teorías matemáticas que tratan el problema general de las colas se les han resistido durante años las colas formadas por el tráfico de vehículos[1]. Su especial, y aparentemente aleatoria, dinámica de retenciones y aceleraciones no ha acabado por ajustarse a ningún modelo conocido, por lo que se han requerido de nuevas modelizaciones, con sus correspondientes técnicas matemáticas. La mayoría de ellas aparecieron en los años 90 y se podrían resumir en tres: un modelo hidrodinámico, otro basado en la Dinámica de Sistemas y un tercero que utiliza simulaciones por ordenador mediante la técnica de Autómatas Celulares. En el primero de estos modelos se aborda la dinámica de un torrente de tráfico con técnicas matemáticas similares a las utilizadas en el estudio de la mecánica de fluidos, basadas fundamentalmente en unas complicadas y difíciles ecuaciones, llamadas de Navier-Stokes. Aunque el fluir de una corriente de agua es continuo, a escalas microscópicas se sabe que está formada por moléculas individuales, lo que permite establecer ciertas semejanzas con el fluir del tráfico y deducir, en determinadas condiciones, algunas pautas de comportamiento que sean válidas para este último. Otra alternativa es el modelo en el que se definen, para cada coche, un par de variables que son su velocidad y la distancia que le separa del vehículo más próximo. Mediante ellas se puede construir lo que se llama un sistema dinámico que permite analizar diferentes estados que se pueden dar, como el de flujo constante, ideal para la conducción; un estado periódico, como sería el de estados alternativos de arranque y parada; o incluso el de estados caóticos, típicos en este tipo de sistemas. La Teoría de los Autómatas Celulares fue concebida originalmente por Ulam y Von Neumann en los años 40 para proporcionar un marco formal a la investigación del comportamiento de sistemas complejos. Se basa en programas informáticos muy sencillos en los que planteado en términos muy simples se introducen un número indeterminados de bichos virtuales en la pantalla del ordenador capacitados para ciertas acciones simples, como ir a la derecha o hacia delante, pararse, interactuar con el vecino, etc., y se estudia posteriormente el comportamiento de la colonia. Este planteamiento ha proporcionado resultados interesantes en el estudio del tráfico, ya que los vehículos son bichos que, entre otras cosas nocivas, se dedican a formar colas.

Colapso de un sistema de  cola

Las “colas” son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos en nuestras actividades diarias cuando formamos colas o líneas de espera atentos a un servicio. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio.

Si bien una cola la cual sigue un orden especifico no debe colapsar, las teorías de cola nos dan  variantes al momento de saber el tiempo específico en el cual serán atendidos o cual rápido es el movimiento de la cola, estas pueden colapsar de igual manera ya que en ocasiones, la capacidad instalada para proporcionar el servicio es insuficiente. Si nos ponemos a revisar un ejemplo que vivimos son las colas en el banco el cual colapsa porque las cajas se encuentran vacía o solo están trabajando dos o un cajero donde hay hasta 5 cajas, lo cual trae a consecuencia el colapso. Al momento de buscar solución a este problema es recomendable primero saber el lugar en el cual se va a realizar las colas si se puede soportar la cantidad de clientes que estarán en la cola, el lugar tiene que ser cómodo y saber de ante mano el estimado de clientes en el lugar para realizar la cola; Luego buscar por medio del modelo de cola la solución más cómoda posible tomando en cuanta (cantidad de clientes, clientes en el sistema, tiempo de atención, clientes en la cola, tiempos en la cola y Probabilidad de que hayan “n” clientes en el sistema en un instante determinado). 

Elys Martinez

C.I: 20.645.406

Ingeniería de Sistemas